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Allgeimeine Funktionen der Booleschen Algebra

Die Boolesche oder auch Aussagenalgebra geht auf den englischen Mathematiker und Philosophen George Boole (1815 - 1864) zurück.

Diese Form der Algebra beschäftigt sich mit mathematischen Aussagen und ihren Verknüpfungen. Dabei gelten Aussagen als mathematisch, wenn sie klar als wahr (w) bzw. falsch (f) zu bezeichnen sind. Wahre Aussagen werden durch einer "1" dagestellt, falsche durch eine "0".

• Beispiel:

• Eine mathematische Aussage wäre:

1. Essen liegt in Nord-Rhein-Westfalen. (wahre Aussage)
2. Das Maria-Wächtler-Gymnasium hat 10000 Schüler. (falsche Aussage)

• Dagegen aber keine mathematische Aussage wäre:

1. Schule ist toll.
2. Informatik macht Spaß.

Mehrere mathematische Aussagen können mit bestimmten Verknüpfungen verbunden werden. Diese wären:

1. Und ()
2. Oder ()
3. Nicht ( )

Sie werden zur Vereinfachung mit den in Klammern stehenden Symbolen dargestellt.

Während und zwei Aussagen Verknüpfen bezieht sich nur auf eine einzelne Aussage oder das "Ergebnis" mehrer Aussagen.

Dabei wird dieses Ergebnis wie folgt ermittelt:

• Eine wahre und eine falsche Aussage durch "Und" verknüpft ergeben eine falsche Aussage.
• Zwei wahre Aussagen durch "Und" verknüpft ergeben eine wahre Aussage.
• Zwei falsche Aussagen durch "Und" verknüpft ergeben eine falsche Aussage.

• Beispiele:

1. Essen liegt in NRW (w) und () das MWG hat 10000 Schüler (f), ist insgesamt eine falsche Aussage.
2. Deutschland liegt in Europa (w) und () hat eine Grenze zu Österreich (w), ist eine wahre Aussage.
3. Deutschland liegt nördlich von Schweden (f) und () die Währung sind Franken (f), ist eine falsche Aussage.

• Eine wahre und eine falsche Aussage durch "Oder" verknüpft, ist eine wahre Aussage.
• Zwei wahre Aussagen durch "Oder" verknüpft ergeben ebenfalls eine wahre Aussage.
• Zwei falsche Aussagen durch "Oder" verknüpft bleiben falsch.

• Beispiele:

1. Essen liegt in NRW (w) oder () das MWG hat 10000 Schüler (f), ergben eine wahre Aussage.
2. Deutschland liegt in Europa (w) oder () hat eine gemeinsame Grenze zu Österreich (w), ergeben natürlich ebenfalls eine wahre Aussage.
3. Deutschland liegt nördlich von Schweden (f) oder () die deutsche Währung sind Franken (f), ergeben eine falsche Aussage.

Sollten mehr als zwei Aussagen verknüpft werden gilt, dass eine durch "Und" verknüpfte Aussagenreihe nur wahr ist, wenn alle Aussagen wahr sind. Sobald also nur eine dieser Aussagen nicht zutrifft ist, das Ergebnis falsch. Bei "Oder" dagegen ist das Ergebnis solange wahr wie eine der Aussagen zutrifft, ist also nur falsch wenn alle Aussagen nicht zutreffen.

• Eine durch "Nicht" verneinte wahre Aussage wird falsch.
• Eine druch "Nicht" verneinte falsche Aussage wird wahr.

• Beispiel:

1. Essen liegt nicht () in NRW, wird durch das "Nicht" zu einer falschen Aussage
2. Das MWG hat nicht () 10000 Schüler, wird durch das das "Nicht" zu einer wahren Aussage.

Die Fach-Bezeichnung für die Nicht-Verknüpfung ist Negation, für die Und-Verknüpfung Konjunktion und für die Oder-Verknüpfung Disjunktion.

Ebenso wie in der Mathematik gelten für diese "Rechenarten" (bzw. Verknüpfungen) bestimmte Regeln:

• Zuerst werden in Klammern stehende Aussagen zusammen Gefasst bzw. verknüpft.
• Danach werden die Negationen berücksichtigt.
• Darauf folgen die Konjunktionen.
• Zuletzt werden die Disjunktionen verknüpft.

• Beispiel:

A (Aussage1)	B (Aussage2)	C (Aussage3)	(A B) ( C C)	AB	C C
1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1
1	0	1	1	1	1
1	0	0	1	1	1
0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1
0	0	1	0	0	1
0	0	0	0	0	1

Die ersten drei Spalten geben alle möglichen Variationen von wahren und falschen Aussagen bei drei Aussagen an. In der Vierten steht dann die "Rechnung" die mit den Aussagen ausgeführt werden muss und in Spalte 5 und 6 wie man diese "Rechnung" korrekt Zerlegen würde um die beiden Ergebnise schließlich mit einer Konjunktion zu verknüpfen.

Bestimmte Gesetzmäßigkeiten entsprechen in diesem Zweig der Algebra der Mathematik, wie das Komutativ- und das Assoziativgesetz. Im Folgenden werden die im Unterricht bereits erschlossenen Gesetze aufgeführt, da allerdings viele andere ebenfalls wichtig für die Boolesche Algebra gibt es an dieser Stelle ein Verweiß zu den unten aufgeführten Links.

Kommutativgesetz:

• und

• und

Komplementärgesetz:

• und

Weiterfürhrende Links:

http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra

http://de.wikipedia.org/wiki/George_Boole

Quelle:

• Eigene Informatik Unterlagen
• wikipedia.de

Bearbeitet von:

Jonatan B.